Dans le cadre d'une extension d'activité, la société CARTEL envisage
l'achat d'une nouvelle machine pour fabriquer des cartes électroniques.

Pour une production annuelle entre 4~000 et 12~000 cartes électroniques,
le bénéfice $B$ généré par cette fabrication de la quantité
$q$ de cartes peut être modélisé par la formule :

$$B = -40q^2 + 600q - 2~000$$

Avec $B$ en milliers d'euros et $q$ en milliers de cartes
fabriquées. Les dirigeants de l'entreprise cherchent à connaître :

\begin{itemize}
\item \textbf{L'intervalle de production pour lequel la fabrication des
  cartes est rentable.}
\item \textbf{La quantité de cartes produites correspondant au bénéfice
  maximum dégagé par la machine}
\end{itemize}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[4 ; 12]$
par l'expression :

$$f(x) = -40x^2 + 600x - 2~000$$

\begin{enumerate}
\item \nbPointsEnumi{3}Calculer $f(4)$ et $f(12)$. Que représentent ces valeurs~?
\item \nbPointsEnumi{2}Déterminer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de
  $f$.
\item \nbPointsEnumi{3}Résoudre l'équation $f'(x) = 0$.
\item \nbPointsEnumi{6}Par la méthode de votre choix, donner les variations de $f$ sur
  l'intervalle $[4 ; 12]$.
\item \nbPointsEnumi{2}Montrer que l'intervalle $[5 ; 10]$ correspond à l'intervalle de
  production pour lequel la fabrication des cartes est rentable.
\item \nbPointsEnumi{2}Trouver le bénéfice maximum dégagé par la machine et la quantité de cartes
  produites correspondantes.
\end{enumerate}
