\begin{enumerate}
\item
  On considère les fonctions $x \mapsto \cos x$ et
  $x \mapsto -\sin x$ sur $[-\pi; \pi]$ et leurs
  représentations graphiques ci-dessous~:

\begin{center}
\includegraphics[width=5.54167in,height=2.57014in]{S7P5/2022_Annals0/2022_04_S7P5_Annals0_Subject2_ExoB3_IMG1.jpg}
\end{center}

Justifier que les seules solutions de l'équation $\cos x + \sin x = 0$
sur $[-\pi; \pi]$ sont $\dfrac{-\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$.

\item
  Soit $f$ la fonction définie sur $[-\pi; \pi]$ par~:
  $f(x) = \e^{x} \cdot \sin x$

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
\item
  Déterminer les variations de la fonction $f$ sur
  $[-\pi; \pi]$, en précisant l'abscisse, la valeur et la
  nature de chaque extremum.

\item
  Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point
  d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$.

\item
  Sur quel intervalle $\mathcal{C}_{f}$ est-elle entièrement située au-dessus de
  chacune de ses tangentes~? Justifier.
  
\item
  En utilisant deux intégrations par parties successives, calculer la
  valeur exacte de l'intégrale~:
  
$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dx.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
