\documentclass[a4paper]{article}

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\usepackage[T1]{fontenc}              %T1 needed for true type.
\usepackage[utf8]{inputenc}           %utf8 is usually the standard for Unix
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\usepackage[shortlabels]{enumitem}    %to customize enumerations
\usepackage{diagbox}                  %backslashbox
\usepackage{tabularx}                 %Redefinition of arraybackslash
\usepackage{multirow}                 %Allows the use of cells that span on multiple rows
\usepackage{colortbl}                 %Allows to use a background color in table cells.
\usepackage{hhline}                   %hhline command to easy put lines on tables
\usepackage{arydshln}                 %cdashline command for dashed lines in tables
\usepackage{textcomp}                 %For unicode symbols like °
\usepackage{multicol}                 %multicols environment
\usepackage{fltpoint}                 %floating-point arithmetic, like fpMul command
\usepackage{esvect}                   %vv command for vectors
\usepackage[np]{numprint}             %np command to print big numbers with spaces
\usepackage{tikz,pgfplots}            %tikzpicture and axis environments
\usetikzlibrary{arrows}               %customizing arrows in tikz
\pgfplotsset{compat=1.16}             %pgfplots 1.16 needed to plot functions
\usepgfplotslibrary{statistics}       %box plot
\usepackage{hyperref}                 %To make urls with ~ work
\usepackage[anythingbreaks]{breakurl} %To add newlines in url links

% Put a background
\usepackage[printwatermark]{xwatermark}
\newwatermark*[allpages,picfile=./img/Watermark_FR,picfileext=pdf,picbb=0 0 923 160,picscale=0.8,graphicsoptions={angle=45}]{}

%\usepackage{txfonts}                  %varparallel command (switches to another font)
%Load the txfonts package just for varparallel command (to avoid a switch to another font)
%https://tex.stackexchange.com/questions/11099/using-package-locally
\begingroup
\usepackage{txfonts}
\global\let\varparallel\varparallel
\endgroup

\newcounter{exoCount}
\newcommand{\exo}[1]{%
  \stepcounter{exoCount}%
  \noindent\textbf{Exercice~\theexoCount{}}%
}
\newcommand{\nbPoints}[1]{#1}
\newcommand{\nbPointsHere}[1]{\nbPoints{#1} \ifdim#1pt<2pt{point\phantom{s}}\else{points}\fi}
\usepackage{calc}
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\setlength{\enumiSpace}{7mm}
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\setlist[enumerate,1]{leftmargin=\enumiSpace}
\setlist[enumerate]{leftmargin=\enumiiSpace}
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\newcommand{\nbPointsRegular}[1]{\leavevmode\llap{\nbPointsHere{#1}\hspace{\pointsRegularSpace}}}
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\newcommand{\nbPointsEnumii}[1]{\leavevmode\llap{\nbPointsHere{#1}\hspace{\pointsEnumiiSpace}}}

\newcommand{\degree}{\text{°}}
\DeclareMathOperator{\dx}{dx}
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\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
% sinus in Spanish and Italian is seno
\DeclareMathOperator{\sen}{sen}
% https://community.canvaslms.com/t5/Canvas-Question-Forum/How-do-I-get-an-arch-over-letters/td-p/197384
\newcommand{\overarc}[1]{{\stackrel{\scalebox{1.4}{$\frown$}}{\phantom{\scalebox{1}[0.8]{$\mathrm{#1}$}}}}\mathllap{\mathrm{#1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% From bac %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
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\DecimalMathComma
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% End from bac %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\diamond$}

\begin{Huge}
\begin{center}
Exemple de sujet de baccalauréat : nouveau programme 2021
\end{center}
\end{Huge}

\vspace{1cm}

\begin{Large}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{X|c|X}\cline{2-2}
& \cellcolor[gray]{.5}\uppercase{Mathématiques 3 périodes} &\\
& \cellcolor[gray]{.5}\uppercase{Partie A} &\\
\end{tabularx}
\end{Large}

\vspace{1cm}

Formation de mathématiques, printemps 2022.

\vspace{1cm}

\noindent Caractéristiques de l'épreuve :

\begin{itemize}
	\item Partie A (sans calculatrice)
	\begin{itemize}
	    \item durée : 2 heures
	    \item nombre d'exercices : 10 (exercices courts)
	    \item barème : 50 points
	\end{itemize}
	\item Partie B (avec calculatrice)
	\begin{itemize}
	    \item durée : 2 heures
	    \item nombre d'exercices : 2 (exercices longs avec une petite dizaine de questions chacun)
	    \item barème : 50 points
	\end{itemize}
\end{itemize}

\newpage


\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & La figure ci-dessous montre le graphique d'une fonction $f$ et de sa tangente
$T$ au point d'abscisse $x = 2$.

\begin{center}
\includegraphics[width=3.53194in]{S7P3/2022_Annals0/2022_04_S7P3_Annals0_EN_ExoA1_IMG1.jpg}
\end{center}

\nbPointsRegular{5}\textbf{Déterminer} $f(2)$ et $f'(2)$.
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & \nbPointsRegular{5}Un magasin d'habits livre des commandes passées en ligne.
Sur les 400~habits qui ont été envoyés, 60 ont un problème de couleur,
90 ont un problème de taille et 260 n'ont aucun problème. On choisit un habit
envoyé en ligne au hasard. \textbf{Calculer} la probabilité qu'il y ait un
problème de couleur, sachant qu'il y a aussi un problème de taille.
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & La figure ci-dessous montre les graphiques des dérivées de deux fonctions $f$ et $g$.

\begin{center}
\includegraphics[width=2.37361in,height=3.80208in]{S7P3/2022_Annals0/2022_04_S7P3_Annals0_EN_ExoA3_IMG1.jpg}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \nbPointsEnumi{2.5}\textbf{Déterminer} si la fonction $f$ a un extremum dans
  le domaine montré et \textbf{justifier} votre réponse. Si $f$ a un extremum,
  \textbf{déterminer} sa nature.
\item \nbPointsEnumi{2.5}\textbf{Déterminer} si la fonction $g$ a un extremum dans
  le domaine montré et \textbf{justifier} votre réponse. Si $g$ a un extremum,
  \textbf{déterminer} sa nature.
\end{enumerate}
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Pour une longue route, la voiture doit être impeccablement révisée. Le
garagiste recommande de changer les pneus. Il existe deux types de pneus,
et vous vous demandez quelle distance chacun des deux types peut permettre
de parcourir. La distance que les pneus de type A peuvent parcourir est
normalement distribuée avec une moyenne de 60~000~km et un écart-type
de 8~000~km, alors que la distance que les pneus de type B peuvent parcourir est
normalement distribuée avec une moyenne de 64~000~km et un écart-type
de 4~000~km.

\nbPointsRegular{5}\textbf{Étudier} le type de pneus à choisir si vous voulez
obtenir la plus grande probabilité de parcourir au moins 52~000~km avec vos
pneus.
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Alper mesure sa vitesse moyenne avec un GPS pendant qu'il conduit.
Alper conduit sur une autoroute où la vitesse est limitée à 120~km/h.
Le GPS a mesuré que sa vitesse moyenne était de 110~km/h.

Une semaine plus tard, il reçoit une amende pour excès de vitesse sur le
trajet décrit plus haut, car un radar de vitesse correctement calibré l'a
flashé à une vitesse de plus de 130~km/h.

\nbPointsRegular{5}\textbf{Discuter} pourquoi Alper pensait respecter la loi
et pourquoi le radar l'a flashé en excès de vitesse.

\textbf{Utiliser} des exemples et un raisonnement complet, par exemple en
dessinant un graphique et en utilisant le vocabulaire étudié en classe.
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & On considère les nuages de points suivants qui correspondent aux coefficients
de corrélation linéaire $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ et $r_{4}$.

\nbPointsRegular{5}\textbf{Arranger} ces coefficients de corrélation en ordre croissant
et \textbf{expliquer} votre réponse.

{
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{XX}
Nuage de points 1, avec coefficient $r_{1}$

\includegraphics[width=2.3625in]{S7P3/2022_Annals0/2022_04_S7P3_Annals0_EN_ExoA6_IMG1.jpg}
&
Nuage de points 2, avec coefficient $r_{2}$

\includegraphics[width=2.36111in]{S7P3/2022_Annals0/2022_04_S7P3_Annals0_EN_ExoA6_IMG2.jpg}
\\[10pt]
Nuage de points 3, avec coefficient $r_{3}$

\includegraphics[width=2.3625in]{S7P3/2022_Annals0/2022_04_S7P3_Annals0_EN_ExoA6_IMG3.jpg}
&
Nuage de points 4, avec coefficient $r_{4}$

\includegraphics[width=2.3625in]{S7P3/2022_Annals0/2022_04_S7P3_Annals0_EN_ExoA6_IMG4.jpg}\\
\end{tabularx}
\end{center}
}
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Dans une région d'Europe, les chouettes chassent des mulots (des souris des champs).
Le nombre de chouettes et de mulots a été étudié depuis 2010. On commence l'étude
de l'évolution du nombre d'individus de chacune de ces espèces en 2010. Le nombre
de mulots est donné par la fonction suivante :

$$f(t) = 1~500 \sin(b \cdot t) + 2~000$$

où $t$ est le nombre d'années écoulées depuis 2010 et $b$ est un nombre réel.

Le nombre de chouettes est donné par la fonction suivante :

$$g(t) = 800 \sin\left(\dfrac{4\pi}{5} \cdot (t - 0,9)\right) + 1~500$$

où $t$ est toujours le nombre d'années écoulées depuis 2010.

La figure ci-dessous montre les graphiques des fonctions $f$ et $g$ :

\begin{center}
\includegraphics[width=4.09444in]{S7P3/2022_Annals0/2022_04_S7P3_Annals0_EN_ExoA7_IMG1.jpg}
\end{center}

où la courbe pointillée montre le nombre de chouettes et la courbe continue
montre le nombre de mulots.

\begin{enumerate}
\item \nbPointsEnumi{1}\textbf{Déterminer} la période de $f$ et \textbf{déduire}
  la valeur du paramètre $b$.
\item \nbPointsEnumi{1.5}\textbf{Déterminer} les coordonnées du point $\mathrm{A}$ (avec une précision
  au dixième pour $t$) et \textbf{interpréter} le résultat dans ce contexte.
\item \nbPointsEnumi{1}\textbf{Déterminer} l'année (après 2020) où le nombre de chouettes va
  être maximal et \textbf{justifier} votre réponse.
\item \nbPointsEnumi{1.5}\textbf{Décrire} ce qu'il se passe quand le nombre de proies diminue.
\end{enumerate}
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Dans une école, les professeurs prétendent que plus de 20\% des élèves arrivent
en retard en classe.

\begin{enumerate}
\item \nbPointsEnumi{3}\textbf{Donner} l'hypothèse nulle $H_{0}$ et l'hypothèse
  alternative $H_{1}$ du point de vue des professeurs.
  \textbf{Expliquer} votre réponse.
\end{enumerate}

Les élèvent prétendent que les professeurs exagèrent et qu'au plus 10\%
des élèves arrivent en retard en classe.

\begin{enumerate}[resume]
\item \nbPointsEnumi{2}\textbf{Donner} l'hypothèse nulle $H_{0}$ et l'hypothèse
  alternative $H_{1}$ si les élèves mènent l'enquête.
  \textbf{Expliquer} votre réponse.
\end{enumerate}
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & On considère une variable aléatoire $X$. Le tableau ci-dessous montre la loi de
probabilité de $X$ :

\begin{center}
{\begin{tabular}{|l|*{5}{c|}}\hline
$x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$\\ \hline
$p_i$ & $2a$ & $a$ & $0,1$ & $0,3$ & $a$\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center}

\nbPointsRegular{5}\textbf{Calculer} l'espérance de $X$.
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Pendant un voyage, vous avez acheté du pain mais l'avez oublié. Quatre jours
plus tard, vous le retrouvez dans le fond de votre sac, mais de la moisissure
a commencé à se développer. La moisissure se développe selon la formule suivante :

$$P(t) = 0,5 \cdot \e^{\ln(1,5) t}$$

où $P$ est le pourcentage de pain recouvert de moisissure et $t$ le temps
écoulé en jour, où $t = 0$ correspond à quatre jours après l'achat du pain.

\begin{enumerate}
\item \nbPointsEnumi{3}Cette formule peut être réécrite sous une autre forme.

  \textbf{Choisir} la forme appropritée ($Q_{1}$, $Q_{2}$, $Q_{3}$ ou $Q_{4}$)
  et \textbf{justifier} votre réponse.
  
  {
  \begin{tabularx}{.8\linewidth}{XX}
  $Q_{1}(t) = 0,5 \cdot {\ln(1,5)}^{t}$ & $Q_{2}(t) = 1,5 \cdot {0,5}^{t}$\\
  $Q_{3}(t) = 0,5 \cdot {1,5}^{t}$      & $Q_{4}(t) = 1,5 \cdot {\ln(0,5)}^{t}$\\
  \end{tabularx}
  }

\item \nbPointsEnumi{2}\textbf{Calculer} quel pourcentage du pain sera recouvert de
  moisissure, 5~jours après avoir acheté le pain.
\end{enumerate}
\\\hline
\end{tabularx}

\end{document}
