\documentclass[a4paper]{article}

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\usepackage[T1]{fontenc}              %T1 needed for true type.
\usepackage[utf8]{inputenc}           %utf8 is usually the standard for Unix
\usepackage[french]{babel}
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\usepackage{mathtools}                %mathllap
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\usepackage{soul}                     %ul command: underline that spans on multiple lines
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\usepackage{xcolor}                   %blue, red...
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\usepackage{xcolor}                   %definecolor
\usepackage[shortlabels]{enumitem}    %to customize enumerations
\usepackage{diagbox}                  %backslashbox
\usepackage{tabularx}                 %Redefinition of arraybackslash
\usepackage{multirow}                 %Allows the use of cells that span on multiple rows
\usepackage{colortbl}                 %Allows to use a background color in table cells.
\usepackage{hhline}                   %hhline command to easy put lines on tables
\usepackage{arydshln}                 %cdashline command for dashed lines in tables
\usepackage{textcomp}                 %For unicode symbols like °
\usepackage{multicol}                 %multicols environment
\usepackage{fltpoint}                 %floating-point arithmetic, like fpMul command
\usepackage{esvect}                   %vv command for vectors
\usepackage[np]{numprint}             %np command to print big numbers with spaces
\usepackage{tikz,pgfplots}            %tikzpicture and axis environments
\usetikzlibrary{arrows}               %customizing arrows in tikz
\pgfplotsset{compat=1.16}             %pgfplots 1.16 needed to plot functions
\usepgfplotslibrary{statistics}       %box plot
\usepackage{hyperref}                 %To make urls with ~ work
\usepackage[anythingbreaks]{breakurl} %To add newlines in url links

% Put a background
\usepackage[printwatermark]{xwatermark}
\newwatermark*[allpages,picfile=./img/Watermark_FR,picfileext=pdf,picbb=0 0 923 160,picscale=0.8,graphicsoptions={angle=45}]{}

%\usepackage{txfonts}                  %varparallel command (switches to another font)
%Load the txfonts package just for varparallel command (to avoid a switch to another font)
%https://tex.stackexchange.com/questions/11099/using-package-locally
\begingroup
\usepackage{txfonts}
\global\let\varparallel\varparallel
\endgroup

\newcounter{exoCount}
\newcommand{\exo}[1]{%
  \stepcounter{exoCount}%
  \noindent\textbf{Exercice~\theexoCount{}}%
}
\newcommand{\nbPoints}[1]{#1}
\newcommand{\nbPointsHere}[1]{\nbPoints{#1} \ifdim#1pt<2pt{point\phantom{s}}\else{points}\fi}
\usepackage{calc}
\newlength{\enumiSpace}
\setlength{\enumiSpace}{7mm}
\newlength{\enumiiSpace}
\setlength{\enumiiSpace}{5.5mm}
\setlist[enumerate,1]{leftmargin=\enumiSpace}
\setlist[enumerate]{leftmargin=\enumiiSpace}
\newlength{\pointsRegularSpace}
\setlength{\pointsRegularSpace}{\arrayrulewidth+2\tabcolsep}
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\setlength{\pointsEnumiSpace}{\arrayrulewidth+2\tabcolsep+\enumiSpace}
\newlength{\pointsEnumiiSpace}
\setlength{\pointsEnumiiSpace}{\arrayrulewidth+2\tabcolsep+\enumiSpace+\enumiiSpace}
\newcommand{\nbPointsRegular}[1]{\leavevmode\llap{\nbPointsHere{#1}\hspace{\pointsRegularSpace}}}
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\newcommand{\nbPointsEnumii}[1]{\leavevmode\llap{\nbPointsHere{#1}\hspace{\pointsEnumiiSpace}}}

\newcommand{\degree}{\text{°}}
\DeclareMathOperator{\dx}{dx}
\DeclareMathOperator{\dy}{dy}
\DeclareMathOperator{\dz}{dz}
\DeclareMathOperator{\dt}{dt}
\DeclareMathOperator{\Dom}{Dom}
% sinus in Spanish and Italian is seno
\DeclareMathOperator{\sen}{sen}
% https://community.canvaslms.com/t5/Canvas-Question-Forum/How-do-I-get-an-arch-over-letters/td-p/197384
\newcommand{\overarc}[1]{{\stackrel{\scalebox{1.4}{$\frown$}}{\phantom{\scalebox{1}[0.8]{$\mathrm{#1}$}}}}\mathllap{\mathrm{#1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% From bac %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
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\DecimalMathComma
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% End from bac %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\diamond$}

\begin{Huge}
\begin{center}
Exemple de sujet de baccalauréat : nouveau programme 2021
\end{center}
\end{Huge}

\vspace{1cm}

\begin{Large}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{X|c|X}\cline{2-2}
& \cellcolor[gray]{.5}\uppercase{Mathématiques 5 périodes} &\\
& \cellcolor[gray]{.5}\uppercase{Partie A} &\\
\end{tabularx}
\end{Large}

\vspace{1cm}

Formation de mathématiques, printemps 2022.

\vspace{1cm}

\noindent Caractéristiques de l'épreuve :

\begin{itemize}
	\item Partie A (sans calculatrice)
	\begin{itemize}
	    \item durée : 2 heures
	    \item nombre d'exercices : 8 (exercices courts)
	    \item barème : 50 points
	\end{itemize}
	\item Partie B (avec calculatrice)
	\begin{itemize}
	    \item durée : 2 heures
	    \item nombre d'exercices : 4 (exercices longs)
	    \item barème : 50 points
	\end{itemize}
\end{itemize}

\newpage


\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par :

$$f(x) = a + \e^{-x+1} \qquad g(x) = \dfrac{b \cdot x + 2}{x - 1}$$

où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.

\nbPointsRegular{5}Trouvez les valeurs de \(a\) et \(b\) telles que \(f\) et \(g\) aient les
propriétés suivantes :

\begin{itemize}
\item
  \(f\) et \(g\) ont la même limite en \(+\infty\).

\item
  Les graphes des fonctions \(f\) et \(g\) on un point d'intersection à
  l'abscisse 2.
\end{itemize}
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & On considère les vecteurs \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}
n \\
1 \\
 - 3 \\
\end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix}
2 \\
 - 1 \\
 - 1 \\
\end{pmatrix}\), où \(n\) est un nombre réel.

\nbPointsRegular{5}Prouvez que quelle que soit la valeur de \(n\), le volume du parallélépipède
déterminé par ces vecteurs est toujours le même.
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & \nbPointsRegular{5}Résoudre l'équation :

$$\log_2(x) + \log_2(x-1) = 1$$
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = x^{2} \cdot \cos x\).

\nbPointsRegular{5}Parmi les quatre fonctions ci-dessous, laquelle est une primitive de \(f\)~?
Expliquez votre réponse.

\begin{center}
{\begin{tabularx}{.8\linewidth}{XX}
$F(x) = \dfrac{x^3}{3} \cdot \sin x$ & $H(x) = 2x \cdot \cos x + (x^2 - 2) \cdot \sin x$\\[10pt]
$G(x) = -2x \cdot \sin x$ & $K(x) = 2x \cdot \cos x - x^2 \cdot \sin x$\\
\end{tabularx}}
\end{center}
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Soient $a$ et $b$ deux réels non nuls et $f$ la fonction définie
sur $\mathbb{R}$ par~:

$$f(x) = a \cdot \e^{b \cdot x}$$

Voici deux allures possibles pour la courbe de cette fonction.

Dans chaque cas, préciser les valeurs possibles pour $a$ et $b$.

{
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{XX}
Cas 1

\includegraphics[width=2.36in]{S7P5/2022_Annals0/2022_04_S7P5_Annals0_Subject1_ExoA5_IMG1.jpg}
&
Cas 2

\includegraphics[width=2.36in]{S7P5/2022_Annals0/2022_04_S7P5_Annals0_Subject1_ExoA5_IMG2.jpg}
\\
\end{tabularx}
\end{center}
}
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & \nbPointsRegular{5}Trouver un nombre complexe \(z\) qui est une racine cubique de \(-8i\)
et une racine quatrième de \(-8 - 8i\sqrt{3}\).
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & La réserve de Corbett Nation Park en Inde est une réserve où l'on peut
rencontrer des tigres.

\begin{enumerate}
\item
  Cette réserve abrite 8 tigres, dont cinq sont marqués.

\nbPointsEnumi{2}On capture trois tigres, quelle est la probabilité que deux d'entre eux
soient marqués~?

Donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.

\item
  Un groupe de 8 touristes arrive sur le site pour un safari.

\nbPointsEnumi{2}Quatre de ces touristes doivent s'installer dans la première voiture, à
quatre places différentes. De combien de manières différentes
peuvent-ils s'installer dans la voiture~?

\item
  On sait que 40\% des visiteurs de Corbett Nation Park sont européens.

Parmi les visiteurs européens, 10\% rencontrent un tigre.

De plus, 20\% des visiteurs de cette réserve rencontre un tigre.

\nbPointsEnumi{2}On croise un visiteur non européen au hasard. Calculer la probabilité
qu'il ait rencontré un tigre.

\item
  Chaque jour, la probabilité qu'un touriste rencontre un tigre est
  de 0,2. %On rappelle que

  \begin{enumerate}
  \item
    \nbPointsEnumii{2}Calculer la probabilité qu'un touriste voie un tigre pour la
    première fois le troisième jour de sa visite.

  \item
    \nbPointsEnumii{2}On note $P(X = n) = p_{n}$ la probabilité qu'un touriste voie
    un tigre pour la première fois le $n$-ème jour de sa visite. Montrer que la
    suite \(p\) est une suite géométrique dont on précisera le premier
    terme et la raison.

  \item
    \nbPointsEnumii{3}Démontrer que $P(X \leq n) = 1 - {0,8}^{n}$. Interpréter le
    résultat dans ce contexte.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{red}{\ding{55}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies par

$$f(x) = -\dfrac{1}{2}\left(\e^{2x} + \e^{-2x}\right) \qquad g(x) = x^n \cdot \ln (x)$$

où $n$ est un entier positif.

\nbPointsRegular{7}Prouvez que les graphiques de ces deux fonctions ne se
croisent jamais, quelle que soit la valeur de $n$.
\\\hline
\end{tabularx}

\end{document}
