\documentclass[a4paper]{article}

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\usepackage{multirow}                 %Allows the use of cells that span on multiple rows
\usepackage{colortbl}                 %Allows to use a background color in table cells.
\usepackage{hhline}                   %hhline command to easy put lines on tables
\usepackage{arydshln}                 %cdashline command for dashed lines in tables
\usepackage{textcomp}                 %For unicode symbols like °
\usepackage{multicol}                 %multicols environment
\usepackage{fltpoint}                 %floating-point arithmetic, like fpMul command
\usepackage{esvect}                   %vv command for vectors
\usepackage[np]{numprint}             %np command to print big numbers with spaces
\usepackage{tikz,pgfplots}            %tikzpicture and axis environments
\usetikzlibrary{arrows}               %customizing arrows in tikz
\pgfplotsset{compat=1.16}             %pgfplots 1.16 needed to plot functions
\usepgfplotslibrary{statistics}       %box plot
\usepackage{hyperref}                 %To make urls with ~ work
\usepackage[anythingbreaks]{breakurl} %To add newlines in url links

% Put a background
\usepackage[printwatermark]{xwatermark}
\newwatermark*[allpages,picfile=./img/Watermark_FR,picfileext=pdf,picbb=0 0 923 160,picscale=0.8,graphicsoptions={angle=45}]{}

%\usepackage{txfonts}                  %varparallel command (switches to another font)
%Load the txfonts package just for varparallel command (to avoid a switch to another font)
%https://tex.stackexchange.com/questions/11099/using-package-locally
\begingroup
\usepackage{txfonts}
\global\let\varparallel\varparallel
\endgroup

\newcounter{exoCount}
\newcommand{\exo}[1]{%
  \stepcounter{exoCount}%
  \noindent\textbf{Exercice~\theexoCount{}}%
}
\newcommand{\nbPoints}[1]{#1}
\newcommand{\nbPointsHere}[1]{\nbPoints{#1} \ifdim#1pt<2pt{point\phantom{s}}\else{points}\fi}
\usepackage{calc}
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% sinus in Spanish and Italian is seno
\DeclareMathOperator{\sen}{sen}
% https://community.canvaslms.com/t5/Canvas-Question-Forum/How-do-I-get-an-arch-over-letters/td-p/197384
\newcommand{\overarc}[1]{{\stackrel{\scalebox{1.4}{$\frown$}}{\phantom{\scalebox{1}[0.8]{$\mathrm{#1}$}}}}\mathllap{\mathrm{#1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% From bac %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\Oij}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j} \right)$}
\newcommand{\Oijk}{$\left( {{\mathrm{O}};\vec i,\vec j ,\vec k} \right)$}
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\DecimalMathComma
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% End from bac %%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\renewcommand{\labelitemii}{$\diamond$}

\begin{Huge}
\begin{center}
Exemple de sujet de baccalauréat : nouveau programme 2021
\end{center}
\end{Huge}

\vspace{1cm}

\begin{Large}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{X|c|X}\cline{2-2}
& \cellcolor[gray]{.5}\uppercase{Mathématiques 5 périodes} &\\
& \cellcolor[gray]{.5}\uppercase{Partie B} &\\
\end{tabularx}
\end{Large}

\vspace{1cm}

Formation de mathématiques, printemps 2022.

\vspace{1cm}

\noindent Caractéristiques de l'épreuve :

\begin{itemize}
	\item Partie A (sans calculatrice)
	\begin{itemize}
	    \item durée : 2 heures
	    \item nombre d'exercices : 8 (exercices courts)
	    \item barème : 50 points
	\end{itemize}
	\item Partie B (avec calculatrice)
	\begin{itemize}
	    \item durée : 2 heures
	    \item nombre d'exercices : 4 (exercices longs)
	    \item barème : 50 points
	\end{itemize}
\end{itemize}

\newpage


\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{green}{\ding{51}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Gabriella joue avec sa petite voiture télécommandée. L'équation qui suit
décrit la trajectoire de la voiture :

$$\begin{pmatrix}x \\ y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 1 \\ \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-12 \\ 5 \\ \end{pmatrix}$$

L'unité de distance est le mètre et le temps est en minutes.

\begin{enumerate}
\item
  \nbPointsEnumi{1}Donnez la position initiale de la voiture.
\item
  \nbPointsEnumi{1}Calculez la position de la voiture après 15 secondes.
\item
  \nbPointsEnumi{1}Calculez la vitesse de la voiture.
\end{enumerate}

Grand-mère regarde Gabriela du point $\mathrm{P}(-1; -6)$

\begin{enumerate}[resume]
\item
  \nbPointsEnumi{3}Trouvez la distance la plus courte entre le point $\mathrm{P}$ et la trajectoire de la voiture.
\end{enumerate}

Le bord de la falaise est au point $\left( 0; \dfrac{23}{3} \right)$
et grand-mère marche dans cette direction avec le vecteur vitesse
$\begin{pmatrix}3 \\ 41 \\ \end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item
  \nbPointsEnumi{2}Après combien de minutes la voiture atteindra-t-elle le bord de la falaise ?
\item
  \nbPointsEnumi{4}La grand-mère pourra-t-elle rattraper la voiture avant qu'elle ne tombe de la falaise
  si elle commence à bouger en même temps que la voiture ? Expliquez votre réponse.
\end{enumerate}
\\\hline
\end{tabularx}

\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{green}{\ding{51}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & \begin{enumerate}
\item
  Un entrepreneur doit exécuter des travaux pour un organisme public. S'ils ne terminent
  pas les travaux dans les délais, ils devront s'acquitter d'une astreinte journalière : 100~€
  le premier jour, 110~€ le deuxième jour, et ainsi de suite avec une augmentation
  quotidienne de 10~€ par jour.

Soit \(u_{n}\) la pénalité le \(n\)-ième jour. Ainsi, le premier terme
de la suite \(u\) est \(u_{1} = 100\).

\begin{enumerate}
\item
  \nbPointsEnumii{1}Énoncez la nature et les caractéristiques de la suite \(u\).

\item
  \nbPointsEnumii{1.5}Expliquez pourquoi \(u_{n} = 90 + 10n\) pour toutes les valeurs de l'entier \(n\).

\item
  \nbPointsEnumii{1}Quel jour l'astreinte journalière s'élèverait-elle à 220~€ ?

\item
  \nbPointsEnumii{2.5}Quel montant total de pénalité l'entrepreneur aurait-il payé après
  20~jours de retard ?
\end{enumerate}

  \item
    Sur un autre chantier, la pénalité de retard est de 80~€ sur
    le premier jour, puis augmente de 10\% chaque jour. Soit \(v_{n}\)
    le montant de la pénalité au jour \(n\) dans ce cas.

    \begin{enumerate}
    \item
      \nbPointsEnumii{1.5}Calculez les valeurs des trois premiers termes \(v_{1}\), \(v_{2}\)
      et \(v_{3}\).

    \item
      \nbPointsEnumii{1.5}Expliquez pourquoi \(v_{n} = 80 \cdot {1,10}^{n - 1}\) pour toutes
      les valeurs de l'entier \(n\).

    \item
      \nbPointsEnumii{2}Quel est le montant total de la pénalité que l'entrepreneur aurait payé
      après 20~jours de retard ?

    \end{enumerate}

  \item
    \nbPointsEnumi{3}À partir de quel jour le montant de l'astreinte journalière dans ce
    cas dépasse celui du premier cas?
\end{enumerate}
\\\hline
\end{tabularx}

\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{green}{\ding{51}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & \begin{enumerate}
\item
  On considère les fonctions $x \mapsto \cos x$ et
  $x \mapsto -\sin x$ sur $[-\pi; \pi]$ et leurs
  représentations graphiques ci-dessous~:

\begin{center}
\includegraphics[width=5.54167in,height=2.57014in]{S7P5/2022_Annals0/2022_04_S7P5_Annals0_Subject2_ExoB3_IMG1.jpg}
\end{center}

Justifier que les seules solutions de l'équation $\cos x + \sin x = 0$
sur $[-\pi; \pi]$ sont $\dfrac{-\pi}{4}$ et $\dfrac{3\pi}{4}$.

\item
  Soit $f$ la fonction définie sur $[-\pi; \pi]$ par~:
  $f(x) = \e^{x} \cdot \sin x$

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
\item
  Déterminer les variations de la fonction $f$ sur
  $[-\pi; \pi]$, en précisant l'abscisse, la valeur et la
  nature de chaque extremum.

\item
  Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point
  d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$.

\item
  Sur quel intervalle $\mathcal{C}_{f}$ est-elle entièrement située au-dessus de
  chacune de ses tangentes~? Justifier.
  
\item
  En utilisant deux intégrations par parties successives, calculer la
  valeur exacte de l'intégrale~:
  
$$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \dx.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\\\hline
\end{tabularx}

\filbreak\exo{} \hfill Calc. : \textcolor{green}{\ding{51}}
\noindent \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|X|}\hline
\phantom{X points} & Une entreprise mène une étude sur la relation entre
l'expérience et le salaire de leur personnel. L'expérience et les salaires de
leurs 12 employés ont été compilés.

\medskip

{
\begin{footnotesize}
\begin{tabular}{|p{1.4cm}|*{12}{c@{\hskip .15cm}|}}\hline
Expérience $x$ (années) & 0 & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 & 18 & 20 & 22 \\ \hline
Salaire $y$ (€)         & 4~200 & 4~800 & 4~600 & 5~000 & 5~200 & 5~600 & 5~650 & 5~660 & 5~500 & 6~000 & 5~831 & 6~200 \\ \hline
\end{tabular}
\end{footnotesize}
}

\begin{enumerate}
\item
  \nbPointsEnumi{1}L'un des coefficients de corrélation suivants correspond à ces données. Lequel
  est-ce ?

$$r_{1} = 0,95 ; \quad r_{2} = -0,95 \quad \text{ ou } \quad r_{3} = 1 ?$$

Expliquez sans vous référer à aucun calcul.

\item
  \nbPointsEnumi{2}Calculez les coordonnées du point moyen de ces données, à
  l'entier le plus proche.

\item
  \nbPointsEnumi{2}L'équation de la droite de régression avec la méthode des moindres carrés
  est $y = a + bx$, où

$$b = \dfrac{\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{\left( x_{i} - \overline{x} \right)\left( y_{i} - \overline{y} \right)}}{\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overline{x} \right)^{2}} \quad \text{ et } \quad a = \overline{y} - b\overline{x}.$$

Utilisez
les informations données ci-dessous pour calculer les valeurs des coefficients $a$
et $b$. Donnez vos réponses au centième près.

\begin{center}
\includegraphics[width=1.18889in,height=1.49653in]{S7P5/2022_Annals0/2022_04_S7P5_Annals0_Subject2_ExoB4_IMG1.jpg}
\quad $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}{\left( x_{i} - \overline{x} \right)\left( y_{i} - \overline{y} \right)} = 45~009$
\end{center}

\item
  \nbPointsEnumi{2}Utilisez le modèle linéaire \(f(x) = 78,7x + 4~488\) pour estimer le salaire
  d'un employé avec 40~ans d'expérience.
\end{enumerate}

Les salaires des employés de cette entreprise sont normalement répartis
avec une moyenne de \(\mu = 5~353\) et un écart-type de \(\sigma = 553\).

\begin{enumerate}[resume]
\item
  \nbPointsEnumi{1.5}M. Smith, un employé de cette entreprise, est payé 6~459~€. Quelle proportion
  des employés de cette société sont moins payés que M. Smith ?

\item
  \nbPointsEnumi{1.5}Calculez la probabilité que le salaire d'un employé soit supérieur à
  7~636~€ et commentez votre réponse pour la question \textbf{5}.
\end{enumerate}

Dans une autre entreprise, les salaires sont normalement répartis avec un
écart-type de \(s = 620\).

\begin{enumerate}[resume]
\item
  \nbPointsEnumi{3}Sachant que la probabilité que le salaire d'un employé soit supérieur à
  5~000~€ est d'environ 0,107, trouvez le salaire moyen dans cette entreprise.
  Donnez votre réponse arrondie au nombre entier le plus proche.
\end{enumerate}
\\\hline
\end{tabularx}

\end{document}
